Sujet bac : Sujet 0 de voie générale - enseignement spécifique - sujet 2

QUESTION 1

• La bonne réponse est : «  $A=-\dfrac{1}{6}$ ».

$$ \begin{aligned} A&=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{3}\\ &=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}\\ &=\dfrac{3}{6}-\dfrac{4}{6}\\ &=-\dfrac{1}{6} \end{aligned} $$

• La bonne réponse est : « 15 euros ».

Le prix des croissants est proportionnel à leur nombre.

$4$ croissants $\rightarrow 6$ €

$10$ croissants $\rightarrow \dfrac{10\times 6}{4}=\dfrac{60}{4}=15$ €

• La bonne réponse est : « $100$ % ».

Le prix a été multiplié par $2$.

Si $t$ % est le taux d’augmentation, on a donc $1+\dfrac{t}{100}=2$.

On en déduit que $\dfrac{t}{100}=1$ et $t=100$ %.

• La bonne réponse est :«  Le prix a augmenté de $10$ euros ».

Le prix initial de l’article a été augmenté de $10$ %, donc multiplié par $1,1$.

Pour retrouver le prix initial, on effectue $110\div 1,1=\dfrac{1100}{11}=100$.

L’article a donc augmenté de $110-100=10$ €.

• La bonne réponse est : « $0,675$ kg  ».

La masse et le volume d’huile sont proportionnels.

$750$ millilitres correspondent à $\dfrac{3}{4}$ d’un litre, donc la masse cherchée est $\dfrac{3}{4}$ de $900$ g.

$$ \begin{aligned} \dfrac{3}{4}\times 900 &=\dfrac{3\times 9\times 100}{4}\\ &=3\times 9\times 25\\ &=75\times 9\\ &=75\times 10-75\\ &=750-75\\ &=675 \end{aligned} $$

Donc la masse cherchée est $675$ g, soit $0,675$ kg.

• La bonne réponse est : « $m=2$ ».

Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ se calcule ainsi :

$$ \begin{aligned} m&=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\ &=\dfrac{106-100}{4-1}\\ &=\dfrac{6}{3}\\ &=2 \end{aligned} $$

• La bonne réponse est : « $3,9$ ».

Le coefficient directeur de la droite est $-0,1$.

L’équation d’une droite de coefficient directeur $a$ passant par le point $(0\,;\,b)$ est : $y=ax+b$.

Ici, la droite passe par $A(0\,;\,4)$, donc $b=4$.

L’équation de la droite $D$ est donc : $y=-0,1x+4$.

Pour le point $B$ d’abscisse $1$, on calcule :

$$ \begin{aligned} y_B&=-0,1\times 1+4\\ &=-0,1+4\\ &=3,9 \end{aligned} $$

• La bonne réponse est : « $x^2-x-6$ ».

$$ \begin{aligned} (x-3)(x+2)&=x^2+2x-3x-6\\ &=x^2-x-6 \end{aligned} $$

• La bonne réponse est : « $h=\dfrac{3V}{\pi r^2}$ ».

$$ \begin{aligned} V&=\dfrac{1}{3}\pi r^2h\\ \Leftrightarrow 3V&=\pi r^2h\\ \Leftrightarrow h&=\dfrac{3V}{\pi r^2} \end{aligned} $$

• La bonne réponse est : « $-4$ ».

$$ \begin{aligned} f(-1)&=-2\times(-1)^2+3\times(-1)+1\\ &=-2-3+1\\ &=-4 \end{aligned} $$

• La bonne réponse est : « $1$ ».

On teste les valeurs proposées :

$$ \begin{aligned} f(1)&=2\times 1^2-5\times 1+3=2-5+3=0\\ f(-1)&=2\times(-1)^2-5\times(-1)+3=2+5+3=10\\ f(0)&=2\times 0^2-5\times 0+3=3\\ f(2)&=2\times 2^2-5\times 2+3=8-10+3=1 \end{aligned} $$

• La bonne réponse est : « L’écart-type de la série B est strictement supérieur à l’écart-type de la série A. ».

La somme de la série $A$ de $4$ notes est $9+10+10+11=40$.

La somme de la série $B$ de $4$ notes est $7+10+10+13=40$.

Donc les deux séries ont la même moyenne, égale à $10$.

Or c’est la série $B$ qui a les valeurs les plus dispersées par rapport à la moyenne. C’est donc cette série qui a le plus grand écart-type.

Exercice 1

Partie A

$$ \begin{aligned} u_1-u_0&=125-100=25\\ u_2-u_1&=150-125=25\\ u_3-u_2&=175-150=25 \end{aligned} $$

Sur ces trois calculs, la différence entre deux termes consécutifs est égale à $25$. Donc les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sont en progression arithmétique.

Deux heures correspondent à $2\times 60=120$ min.

Or $120=12\times 10$.

Comme $u_n$ est le nombre de champignons après $n$ périodes de $10$ min, le nombre de champignons deux heures après le début de l’expérience est $u_{12}$.

On cherche donc $u_{12}$.

Si la population de champignons continue d’évoluer ainsi, alors la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=25$ et son premier terme est $u_0=100$.

On en déduit que pour tout entier naturel $n$ :

$$ \begin{aligned} u_n&=u_0+n\times r\\ u_n&=100+25n \end{aligned} $$

Donc :

$$ \begin{aligned} u_{12}&=100+12\times 25\\ &=100+6\times 2\times 25\\ &=100+6\times 50\\ &=100+300\\ &=400 \end{aligned} $$

En conclusion, la population de champignons aura quadruplé en $2$ h si elle augmente de manière arithmétique.

Partie B

Les termes $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$ sont différents de $0$. On a :

$$ \begin{aligned} \dfrac{v_1}{v_0}&=\dfrac{200}{100}=2\\ \dfrac{v_2}{v_1}&=\dfrac{400}{200}=2\\ \dfrac{v_3}{v_2}&=\dfrac{800}{400}=2 \end{aligned} $$

Le quotient de deux termes consécutifs est égal à $2$. Donc les termes $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$ sont en progression géométrique.

Le graphique n°$1$ est susceptible de représenter la suite $(v_n)$.

La suite est géométrique, donc sa représentation n’est pas celle de points alignés. De plus, elle est croissante et n’est pas majorée.

Quatre heures correspondent à $4\times 60=240$ min.

Or $240=6\times 40$.

Ainsi, comme $v_n$ est le nombre de champignons après $n$ périodes de $40$ min, le nombre de champignons quatre heures après le début de l’expérience est $v_6$.

On cherche donc $v_6$.

La suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=2$ et son premier terme est $v_0=100$.

On en déduit que pour tout entier naturel $n$ :

$$ v_n=v_0\times q^n=100\times 2^n $$

Donc :

$$ \begin{aligned} v_6&=100\times 2^6\\ &=100\times 64\\ &=640 \end{aligned} $$

Conclusion : Il y a $640$ champignons quatre heures après le début de l’expérience.

Cinq heures correspondent à $5\times 60=300$ min.

Comme $v_n$ est le nombre de champignons après $n$ périodes de $40$ min, on cherche d’abord combien de périodes de $40$ min se sont écoulées lorsqu’on atteint $300$ min.

Or $300=40\times 7+20$.

On a donc $40\times 7<300<40\times 8$.

Avec le modèle de la suite $(v_n)$, le nombre de champignons au bout de $40\times 7$ minutes est $v_7$ et le nombre de champignons au bout de $40\times 8$ minutes est $v_8$.

Comme la suite est croissante, le nombre de champignons cinq heures après le début de l’expérience est strictement compris entre $v_7$ et $v_8$.

Or :

$$ \begin{aligned} v_7&=100\times 2^7=100\times 128=12\ 800\\ v_8&=100\times 2^8=100\times 256=25\ 600 \end{aligned} $$

Donc $12\ 800<18\ 000<25\ 600$.

Si on dénombre $18\ 000$ champignons au bout de $5$ heures, c’est cohérent avec le modèle choisi.

Exercice 2

Partie A

Dans ce lycée, il y a :

$$ \begin{aligned} 712+288&=1\ 000\ \text{filles}\\ 728+272&=1\ 000\ \text{garçons} \end{aligned} $$

Ainsi, l’élève a raison.

L’événement $A\cap F$ est l’événement « l’élève est une fille et elle a choisi anglais pour la LV1 ».

Comme le choix de l’élève est équiprobable, on sait que la probabilité de $A\cap F$ est :

$$ p(A\cap F)=\dfrac{\text{nombre d’issues favorables à }A\cap F}{\text{nombre total d’issues}} $$

Or il y a $1\ 000+1\ 000=2\ 000$ élèves dans ce lycée.

Et il y a $712$ élèves qui, à la fois, sont des filles et ont choisi Anglais pour LV1.

Donc :

$$ p(A\cap F)=\dfrac{712}{2\ 000} $$

On cherche la probabilité de l’événement $A$ sachant que $F$ est réalisé :

$$ p_F(A)=\dfrac{p(A\cap F)}{p(F)} $$

Or $p(F)$ est la probabilité que l’élève choisi soit une fille.

Comme il y a autant de filles que de garçons, $p(F)=\dfrac{1}{2}$.

Donc :

$$ \begin{aligned} p_F(A) &=\dfrac{\dfrac{712}{2\ 000}}{\dfrac{1}{2}}\\ &=\dfrac{712}{2\ 000}\times 2\\ &=\dfrac{712}{1\ 000} \end{aligned} $$

$p(A)$ est la probabilité que l’élève ait choisi anglais pour la LV1.

Comme le tirage est équiprobable, on a :

$$ p(A)=\dfrac{\text{nombre d’issues favorables à }A}{\text{nombre total d’issues}} =\dfrac{712+728}{2\ 000} =\dfrac{1\ 440}{2\ 000} =\dfrac{720}{1\ 000} $$

Or $p(A)$ et $p_F(A)$ ne sont pas égales.

On en conclut que les événements $A$ et $F$ ne sont pas indépendants.

La probabilité pour que l’élève ait choisi anglais pour la LV1 sachant que c’est un garçon est $p_G(A)$.

On sait que :

$$ p_G(A)=\dfrac{p(A\cap G)}{p(G)} $$

Sur les $2\ 000$ élèves du lycée, la moitié sont des garçons, donc $p(G)=\dfrac{1}{2}$.

Par ailleurs, il y a $728$ élèves qui sont à la fois des garçons et ont choisi anglais en LV1. Ainsi :

$$ \begin{aligned} p_G(A) &=\dfrac{\dfrac{728}{2\ 000}}{\dfrac{1}{2}}\\ &=\dfrac{728}{2\ 000}\times 2\\ &=\dfrac{728}{1\ 000} \end{aligned} $$

L’événement « l’élève n’a pas choisi l’anglais sachant que c’est un garçon » est l’événement contraire de « l’élève a choisi l’anglais sachant que c’est un garçon ». Sa probabilité est donc :

$$ \begin{aligned} p_G(\overline{A}) &=1-p_G(A)\\ &=1-\dfrac{728}{1\ 000}\\ &=\dfrac{1\ 000-728}{1\ 000}\\ &=\dfrac{272}{1\ 000} \end{aligned} $$

Or $3\times 272=816\neq 728$.

L’affirmation est donc fausse.

Autre raisonnement possible sans calcul de probabilité :

Dans l’ensemble des garçons, $728$ ont choisi Anglais LV1 et $272$ n’ont pas choisi Anglais. Or $3\times 272=816\neq 728$.

Il n’y a donc pas trois fois plus de garçons ayant choisi anglais que de garçons ne l’ayant pas choisi. L’affirmation est donc fausse.

Partie B

Lors d’un lancer d’une pièce de monnaie, il y a seulement deux issues possibles : « obtenir pile » et « obtenir face ». Ces deux issues sont donc des événements contraires.

La probabilité d’obtenir face est donc $1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$.

On note $P$ l’issue « obtenir pile » et $F$ l’issue « obtenir face ».

Les lancers étant indépendants, on retrouve les mêmes probabilités pour $P$ et $F$ à chaque lancer.

En observant l’arbre, l’événement « obtenir une fois pile » se réalise par les issues suivantes : $(P\,;\,F\,;\,F)$, $(F\,;\,P\,;\,F)$ et $(F\,;\,F\,;\,P)$.

Pour obtenir la probabilité de ces issues, on multiplie les probabilités sur les branches. Ainsi :

$$ \begin{aligned} p((P\,;\,F\,;\,F))&=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{4}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{64}\\ p((F\,;\,P\,;\,F))&=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{64}\\ p((F\,;\,F\,;\,P))&=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{64} \end{aligned} $$

On en déduit que la probabilité d’obtenir exactement une fois pile lors de ces trois lancers est :

$$ \begin{aligned} p((P\,;\,F\,;\,F))+p((F\,;\,P\,;\,F))+p((F\,;\,F\,;\,P)) &=3\times\dfrac{9}{64}\\ &=\dfrac{27}{64} \end{aligned} $$

L’événement « ne jamais obtenir pile » se produit quand on obtient $3$ fois face.

$$ \begin{aligned} p((F\,;\,F\,;\,F)) &=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{3}{4}\times\dfrac{3}{4}\\ &=\dfrac{27}{64} \end{aligned} $$

La probabilité cherchée est donc $\dfrac{27}{64}$.